Μαθηματικές Παρουσιάσεις: Φίλιοι αριθμοί και Έτερος εγώ

Αναρτήθηκε: Πέμπτη 21 Δεκεμβρίου 2023

Φίλιοι αριθμοί και Έτερος εγώ

– Τι εστί φίλος;
– Έτερος εγώ.

Τι είναι φίλος; Αυτός που είναι ο άλλος σου εαυτός, όπως το 220 με το 284.
Τι ενώνει άραγε τους αριθμούς 220 και 284; Οι αριθμοί αυτοί είναι φίλοι γιατί ο ένας καθρεφτίζεται μέσα στον άλλο.

Για να κατανοήσουμε την προαναφερθείσα σχέση ας υπολογίσουμε το άθροισμα των γνησίων διαιρετών τους.

Οι διαιρέτες του 220 είναι

Οι διαιρέτες του 284 είναι

142

110

Άθροισμα:284

Άθροισμα: 220

Έχουμε:Οι γνήσιοι διαιρέτες του 220 είναι οι: 1, 2, 4, 5, 10, 11, 20, 22, 44, 55 και 110
Όμοια του 284 είναι οι: 1, 2, 4, 71 και 142

Αν προσθέσουμε τους αντίστοιχους διαιρέτες των δύο αριθμών προκύπτει:Το άθροισμα διαιρετών 220 είναι: 1 + 2 + 4 + 5 + 10 + 11 + 20 + 22 + 44 + 55 + 110 = 284
Όμοια του 284 είναι: 1 + 2 + 4 + 71 + 142 = 220

Το άθροισμα των γνησίων διαιρετών του 220 ισούται με 284, ενώ το άθροισμα των γνησίων διαιρετών του 284 ισούται με 220.

Δυο αριθμοί ονομάζονται φίλιοι, αν ο πρώτος ισούται με το άθροισμα των γνήσιων διαιρετών του δεύτερου και αντίστροφα.

Αυτή η σχέση μεταξύ των αριθμών είναι ικανή για να θεωρήσουν οι Πυθαγόρειοι αυτούς τους αριθμούς ως “φίλιους”, δηλαδή ως “αγαπημένους”.

Το ζευγάρι αυτών των αριθμών έλεγαν ότι αποτελεί σύμβολο φιλίας.
Ο Μαρτίν Γκάρντνερ στο βιβλίο του Mathematical Magic Show αναφέρει ότι στο Μεσαίωνα πουλούσαν φυλακτά που είχαν χαραγμένους αυτούς τους αριθμούς και ευνοούσαν ερωτικά όποιον τα φορούσε.

Υπάρχει σαφής αναφορά για το έθιμο να σκαλίζουν τον αριθμό 220 πάνω σε ένα μήλο (τυχαία επιλογή φρούτου;) και το 284 σε έναν άλλο, να τρώνε ύστερα το πρώτο και να προσφέρουν το δεύτερο στο αγαπημένο τους πρόσωπο ως ένα είδος μαθηματικού αφροδισιακού.

Στο “Θεώρημα του παπαγάλου”, του Ντενί Γκετζ, εκδόσεις Πόλις υπάρχει το απόσπασμα “Με την ευκαιρία, σου είπα τι με είχε «τραβήξει» στον Πυθαγόρα; Αυτός ανακάλυψε τη λέξη φιλία. Το ήξερες; Όταν τον ρώτησαν τι είναι φίλος, απάντησε: «Αυτός που είναι ο άλλος σου εαυτός, όπως το 220 και το 284». Δύο αριθμοί είναι «φίλιοι» ή «φιλικοί», αν ο καθένας ισούται με το άθροισμα όσων μετρούν (δηλαδή διαιρούν) τον άλλο. Οι πιο διάσημοι φίλιοι αριθμοί του Πυθαγόρειου Πανθέου είναι οι 220 και 284. Κάνουν ένα ταιριαστό ζευγάρι. Αν έχεις καιρό, επαλήθευσέ το. Και εμείς οι δύο, είμαστε «φίλιοι»; Τι σε μετρά, Πιέρ; Κι εμένα; Ίσως ήρθε πια ο καιρός να προσθέσουμε όλα όσα μας μέτρησαν“.

Εδώ υπάρχει μια όμορφη και παράξενη σύμπτωση. Ενδιαφέρον είναι ότι ο αριθμός 284 είναι ένας πολύ γνωστός λεξάριθμος, ο λεξάριθμος της λέξης ΘΕΟΣ (9+5+70+200=284). Επίσης προσπαθώντας να ερμηνεύσουμε τον αριθμό 220 σημειώνουμε ότι το ΟΛΟΝ (70+30+70+50)= 220. Έτσι μια πιθανή λεξαριθμική σχέση μεταξύ αυτών των 2 φίλων αριθμών είναι ότι ο Θεός και το Όλον συνδέονται μεταξύ τους με “φιλία”.

Το 220 και το 284 δεν είναι οι μόνοι φίλιοι αριθμοί.

Ο Pierre Fermat το 1636 βρήκε το ζεύγος 17.296, 18.416

Ο Renè Descartes βρήκε ένα τρίτο ζεύγος 9.363.584, 9.437.056

Ο Nicolò Paganini, το 1866 ανακάλυψε το ζεύγος 1.184, 1.210

Ο Leonhard Euler βρήκε 62 τέτοια ζεύγη φίλιων αριθμών

Οι Φίλιοι Αριθμοί έως το 100.000 είναι :

220 - 284

1184 - 1210

2620 - 2924

5020 - 5564

6232 - 6368

10744 - 10856

12285 - 14595

17296 - 18416

63020 - 76084

79750 - 88730

Δεν υπάρχει γενικός τύπος που να παράγει όλα τα ζεύγη των Φίλιων αριθμών. Παρόλα αυτά ο Άραβας Μαθηματικός Θαμπίτ Ιμπν Κούρα ανακάλυψε ένα τύπο που δίνει ζεύγη Φίλιων αριθμών. Ο τύπος αυτός αναφέρει τα ακόλουθα:

Άν Α, Β, Γ πρώτοι αριθμοί οι οποίοι συνδέονται μεταξύ τους με την ακόλουθη σχέση:

Α = 3x( 2^ ν) – 1

Β = 3x[ 2 ^ (ν +1)] – 1

Γ = (3^2)x[ 2 ^ (2ν +1)] – 1

Τότε οι αριθμοί:

Φ1 = Αx Βx [2 ^ (ν +1)]

και

Φ2 = Γx [2 ^ (ν +1)] αποτελούν ζεύγος Φίλων αριθμών

Πραγματικά για ν=1 : Α=5, Β=11, Γ=71 και Φ1=5x11x4=220 και Φ2=71x4=284

Υπάρχουν όμως και παραδείγματα φίλιων αριθμών που δεν υπακούν στον κανόνα του Θαμπίτ Ιμπν Κούρα , όπως οι αριθμοί 1184 και 1210 ή οι αριθμοί 2620 και 2924.

Σχετικό βίντεο: