Γρίφος 41
Σκεφτείτε έναν τριψήφιο αριθμό. Γράψτε στο κομπιουτεράκι σας αυτόν τον αριθμό δυο συνεχόμενες φορές. Π.χ αν σκεφτήκατε τον αριθμό 123 γράψτε 123123. Διαιρέστε τον αριθμό που έχετε στην οθόνη σας με το 7. Θα παρατηρήσετε ότι η διαίρεση είναι τέλεια δηλαδή δεν προκύπτουν δεκαδικά ψηφία. Διαιρέστε τον νέο αριθμό που έχετε στην οθόνη σας με το 11. Πάλι η διαίρεση είναι τέλεια. Διαιρέστε τον νέο αριθμό με το 13 . Και πάλι η διαίρεση είναι τέλεια και μάλιστα έχετε καταλήξει στον αρχικό σας αριθμό.
Μπορείτε να αποδείξετε ότι όλα τα παραπάνω ισχύουν για οποιονδήποτε τριψήφιο αριθμό;
Λύση
Αν συμβολίσουμε με x,y,z τα τρία ψηφία του αρχικού τριψήφιου αριθμού, τότε η αλγεβρική μορφή του αριθμού που προκύπτει αν γράψουμε τον αριθμό δύο συνεχόμενες φορές είναι η x⋅100.000 + y⋅10.000 + z⋅1.000 + x⋅100 + y⋅10 + z
Ομαδοποιούμε τους όρους σε ζευγάρια.Έχουμε : x⋅100.100 + y⋅10.010 + z⋅1.001
Βγάζουμε κοινό παράγοντα το 1.001 και καταλήγουμε στην έκφραση: 1.001⋅ (x⋅100 + y⋅10 + z) (1)
Τώρα η διαίρεση αυτού του αριθμού διαδοχικά με τους 7, 11 και 13 είναι ισοδύναμη με τη διαίρεσή του με το γινόμενο 7⋅11⋅13 = 1.001
Παρατηρούμε ότι ο αριθμός της έκφρασης (1) διαιρείται ακριβώς με το 1.001, άρα και με τους παράγοντες 7, 11 και 13 που τον αποτελούν.
Κάνοντας τη διαίρεση του αριθμού της έκφρασης (1) με το 1.001 παίρνουμε σαν αποτέλεσμα τον αριθμό x⋅100 + y⋅10 + z που είναι ο αρχικός μας αριθμός.
